自然常数 e 是什么？为什么约等于 2.718（欧拉数详解）

在计算器里输入"e 的 1 次方"，它会回答 2.718281828。这个数就是自然常数 e，也常被叫作欧拉数，它是数学各个分支迟早都会遇到的少数几个常数之一：复利、人口增长、放射性衰变、概率，以及整个微积分。

与 e 有关的极限如何先取对数再求解，可在洛必达法则例题中逐步查看。

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本指南先给出简短的答案，再说明这个值从哪里来、两种计算方法，以及微积分为什么把 e 当作指数的"自然"底数。如果你对指数本身还不踏实，可以先读直观理解指数，再回到这里。

简短回答：e 是什么，以及常用取值

e 的值约为 2.71828。多写几位，是 2.718281828459045...，因为 e 是无理数，小数既不终止也不循环（MathWorld）。它是自然对数的底，也是自然指数函数 exe^{x}ex 的底。你也会看到它被称为纳皮尔常数（Napier's constant），得名于约翰·纳皮尔（Wikipedia）。

大多数关于 e 的搜索，其实只是想要少数几个值。下面是精确到六位或更多有效数字的结果：

表达式数值原因e1e^{1}e12.718282任何数的一次方都是它本身e0e^{0}e01任何非零数的 0 次方都是 1e−1e^{-1}e−10.367879等于 1/e1/e1/ee2e^{2}e27.389056e×ee \times ee×ee1/2e^{1/2}e1/21.648721等于 e\sqrt{e}e​ln⁡e\ln elne1自然对数是 exe^{x}ex 的逆运算

所以 e 的 1 次方就是 e 本身，约 2.71828。一次方并没有什么特别之处，特别的是这个底数本身。

e 从哪里来：复利

雅各布·伯努利在 1683 年研究连续复利时遇到了这个数，并证明它一定介于 2 和 3 之间（MacTutor）。他的问题很容易叙述。

把 1 美元存入年利率 100% 的账户。如果只在年底付一次利息，你有 2 美元。现在把同样的 100% 拆成 n 次更小的支付，每次增加余额的 1/n1/n1/n，并且让每次支付的利息也在之前的基础上继续生息。一年后你有

(1+1n)n\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}(1+n1​)n

美元。复利越频繁，得到的越多，但不是没有上限：

复利频率n一年后的余额每年一次12.000000每年两次22.250000每季度42.441406每月122.613035每天3652.714567每小时8,7602.718127连续n 无限增大2.718282 = e

从按月改成按天，多出约 10 美分；从按天改成按小时，多出不到半美分。余额朝着一个永远越不过的上限慢慢爬升，这个上限就是 e。OpenStax 微积分教材正是这样定义它的：当 m 增大时，(1+1/m)m\left(1 + 1/m\right)^{m}(1+1/m)m 趋近一个数，这个数就叫作 e（OpenStax Calculus Volume 1, section 1.5）。对于利率 r、期限 t 年，同样的想法给出连续增长公式 A=PertA = Pe^{rt}A=Pert。

两种相互一致的定义，以及各自逼近的速度

通向同一个数的还有第二条路：把每个阶乘的倒数加起来。

e=1+1+12!+13!+14!+⋯=∑k=0∞1k!e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}e=1+1+2!1​+3!1​+4!1​+⋯=k=0∑∞​k!1​

MathWorld 把这两种形式都列为 e 的定义，欧拉也在 1748 年的《无穷小分析引论》（Introductio in analysin infinitorum）中把它们并排给出，并在那里把 e 算到了小数点后 18 位（MacTutor）。它们得到同一个数，但速度差别很大。下面是直接算出的收敛竞赛，目标是 2.71828，即 e 的前五位小数：

收敛竞赛：极限 vs 级数

极限 (1+1/n)n\left(1 + 1/n\right)^{n}(1+1/n)n数值级数，所用项数部分和n = 12.0000002 项（到 1/1!）2.000000n = 102.5937424 项（到 1/3!）2.666667n = 1002.7048146 项（到 1/5!）2.716667n = 1,0002.7169248 项（到 1/7!）2.718254n = 100,0002.7182689 项（到 1/8!）2.718279n = 1,000,0002.71828010 项（到 1/9!）2.718282

级数用 10 项就锁定了 2.71828。极限则要等到 n 约为 743,000 才第一次显示 2.71828，即使取到一百万步，小数点后第六位仍然不对。原因在于误差的大小。每多一个阶乘项都比上一项小得多，所以级数的误差缩小得比任何幂函数都快；而极限的误差大致按 e/(2n)e/(2n)e/(2n) 缩小，步数增加十倍，只多得到大约一位正确数字。

实际的结论是：极限解释了 e 为什么存在（它是复利增长的上限），而级数才是你实际计算 e 的方法。

为什么微积分偏爱 e

底数 b>0b > 0b>0 的任何指数函数 bxb^{x}bx，都是一条越走越陡地上升（或下降）的曲线。它在任意一点的斜率都与该点的高度成正比。对大多数底数，这个比例常数是个不太方便的数：2x2^{x}2x 的斜率约为高度的 0.693 倍，3x3^{x}3x 约为 1.099 倍。

恰好有一个底数让这个常数等于 1，于是每一点的斜率都等于高度。这个底数就是 e。OpenStax 在导数一章里就是这样定义 e 的：它是唯一使指数函数在 x=0x = 0x=0 处斜率为 1 的底数，由此得到

ddx ex=ex\frac{d}{dx}\, e^{x} = e^{x}dxd​ex=ex

（OpenStax Calculus Volume 1, section 3.9）。一个函数的导数就是它自己，处理增长问题的微积分就几乎不费力：对 exe^{x}ex 求导，什么都不变；对它积分，也什么都不变。如果把导数看作斜率这个想法对你还很新，可以读从零理解导数。

自然对数记作 ln，是 exe^{x}ex 的反函数：ln⁡(ex)=x\ln(e^{x}) = xln(ex)=x，并且当 x>0x > 0x>0 时 eln⁡x=xe^{\ln x} = xelnx=x。它的导数同样简洁，ddxln⁡x=1x\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}dxd​lnx=x1​。这就是科学家把以 e 为底称作"自然"的原因：这个底数让公式最短。我们的直观理解对数一文把 ln 与以 10、以 2 为底的对数放在一起讲。

上一节的级数也不是巧合。exe^{x}ex 的麦克劳林级数是 ∑n=0∞xn/n!\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}/n!∑n=0∞​xn/n!（OpenStax Calculus Volume 2, section 6.3）；令 x=1x = 1x=1，就得到 e 的阶乘和。

欧拉数、欧拉常数与欧拉恒等式的区别

欧拉的名字挂在太多结果上，所以搜索时有三样不同的东西常被混在一起：

名称符号与数值它是什么欧拉数e ≈ 2.71828自然对数的底；即上文的极限与级数欧拉常数（欧拉-马歇罗尼常数）γ ≈ 0.57722n 增大时 1+12+⋯+1n−ln⁡n1 + \tfrac{1}{2} + \cdots + \tfrac{1}{n} - \ln n1+21​+⋯+n1​−lnn 的极限欧拉恒等式eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0eiπ+1=0联系 e、i、π、1 和 0 的等式

人们对它们的了解程度也不同。e 已被证明是无理数，并且夏尔·埃尔米特在 1873 年证明了它是超越数（MathWorld）。而对于 γ，至今连它是否为无理数都不知道（MathWorld, Euler-Mascheroni constant）。至于欧拉恒等式，它根本不是一个数，而是关于 e 的虚数次幂的一个陈述；我们对欧拉恒等式的讲解说明了为什么 eiπe^{i\pi}eiπ 会落在 -1 上。

关于 e 的常见错误

把 e 当成变量。 在 exe^{x}ex 中，变化的是 x，e 不变。解 ex=5e^{x} = 5ex=5 就要对两边取 ln：x=ln⁡5≈1.609x = \ln 5 \approx 1.609x=ln5≈1.609。

过早四舍五入。 在 e3e^{3}e3 中用 2.7 代替 e，得到 19.683，而不是 20.0855。直到最后一步之前，都请使用计算器里的 e。

把 e−1e^{-1}e−1 和 −e-e−e 混为一谈。 负指数表示倒数：e−1=1/e≈0.3679e^{-1} = 1/e \approx 0.3679e−1=1/e≈0.3679，是正数。−e≈−2.718-e \approx -2.718−e≈−2.718 是另一个数。

搞混 ln 和 log。 在大多数计算器上，"log"表示以 10 为底，"ln"表示以 e 为底。ln⁡e=1\ln e = 1lne=1，但 log⁡e≈0.4343\log e \approx 0.4343loge≈0.4343。

用 e 练一练

先自己做，再核对答案：

不用计算器，e0e^{0}e0、e1e^{1}e1 和 ln⁡1\ln 1ln1 分别是多少？

化简 e2⋅e3e^{2} \cdot e^{3}e2⋅e3 和 ln⁡(e7)\ln\left(e^{7}\right)ln(e7)。

解 ex=1e^{x} = 1ex=1。

答案：1、e 和 0；e5e^{5}e5 和 7；x=0x = 0x=0。

Math Zen 的对数练习会反复训练 ln 与换底，函数练习则包含指数函数，让你一道题一道题地把这些规则变成习惯。

常见问题

e 是有理数吗？

不是。e 是无理数，小数既不终止也不循环。埃尔米特在 1873 年证明它还是超越数：它不是任何非零有理系数多项式的根。

为什么叫 e？

莱昂哈德·欧拉在 1731 年写给哥德巴赫的信中用了这个字母，并在 1736 年的出版物中使用。没有人确切知道他为什么选 e；他取自己姓名首字母的说法，并没有得到历史学家的证实。

e^2 是多少？

约 7.389。它是 e 乘以它自己，即 2.71828×2.718282.71828 \times 2.718282.71828×2.71828。

e 的 0 次方是多少？

恰好是 1，和任何非零数的 0 次方一样。